MATERIAL DE APOYO

Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente a partir del software GeoGebra.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el círculo unitario para identificar la variación de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente, a medida que crece o disminuye el ángulo agudo asociado.

Consigna. En parejas, generen un círculo con radio igual a 1 como se muestra enseguida.

1. Den clic en el ícono 
Luego, muevan el punto B sobre la circunferencia de manera que el ángulo θ crezca o disminuya. Analicen con detalle qué es lo que sucede con cada una de las razones trigonométricas.

2. ¿Es verdad que el seno del ángulo θ es igual a y? _______ ¿por qué? ________________

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 3. ¿Es verdad que el coseno del ángulo θ es igual a x? _______ ¿por qué? ______________

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4. ¿Es verdad que la tangente del ángulo θ es igual a KL? _______ ¿por qué? __________

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 Consideraciones previas

Para realizar esta actividad es necesario contar equipo de cómputo y con el programa Geogebra instalado. Si no hay suficientes equipos para que los alumnos los utilicen individual o en grupos pequeños, el profesor puede utilizar un equipo y un proyector, de tal manera que todos los alumnos puedan ver los efectos al manipular la construcción geométrica. La idea central de esta actividad es que los alumnos analicen qué sucede cuando varía el ángulo θ. Para ello, será necesario hacerles alguna preguntas, como por ejemplo, ¿cuál es el valor de seno, coseno y tangente cuando el ángulo θ mide 30°, 45°, 60° y 90°?

 El círculo unitario se llama así porque el radio mide una unidad, el centro del círculo está en el origen del plano cartesiano, los ángulos se generan de derecha a izquierda. Cuando se marca un ángulo se hace con el giro del radio que mide uno. Si se traza una perpendicular del punto que forma el radio con la circunferencia hacia el eje de las X se forma un triángulo rectángulo. La función seno en el círculo unitario queda entonces como y/h (cateto opuesto entre hipotenusa) pero como h = 1, entonces el seno es igual a y. El coseno queda como x/h, pero como h = 1, el coseno es igual a x.

En el triángulo ABE, la tangente es igual a y/x. Si se traza un triángulo ALK, semejante a ABE, con la prolongación de h y la tangente KL, entonces puede establecerse la siguiente igualdad:

 BE/AE = KL/AK, pero como AK = 1, entonces, BE/AE = KL

Se puede concluir que la tangente de θ (BE/AE) es igual a KL o bien al valor de la ordenada del punto L.

En caso de que no se pueda realizar la actividad con el Software propuesto, se podría realizar con lápiz y papel. Para ello se puede proporcionar a los alumnos el siguiente círculo unitario y pedirles que determinen los triángulos rectángulos, para lograrlo tendrán que trazar las perpendiculares al eje X y que pasen por los puntos C; D; E y F. Posteriormente los alumnos tendrán que hacer las mediciones necesarias para concluir que el seno, coseno y tangente del ángulo θ es igual a y, x y BK, respectivamente.

Será necesario ayudar a los alumnos para el trazo de los triángulos semejantes ABK